重なり法

任意の単一の連続を取り、それをその行の一方の端までできるだけ押しやり、次に反対側へできるだけ押しやると想像してください。それが連続の取りうる二つの極端な位置です。両方の位置で覆われるマスはどれも塗られていなければなりません — その連続をそのマスが空のまま残す並べ方は存在しません。二つの極端のうち片方だけで覆われるマスは、今のところ不明のままです。

これがこの方法のすべてです。連続が実際にどこへ行くかを知る必要はありません。避けられないマスさえ分かればよいのです。

n マスの行にある長さ k の単一の連続では、保証されるマスの数は 2k − n で、行の中央に位置します — その数が正のときはいつでもです。幅 5 の行にある 4 の連続は 2×4 − 5 = 3 個の強制マスを与え、3 の連続はわずか 2×3 − 5 = 1 個です。連続の長さが行全体に近いほど、より多くを固定します。

同じ考え方はスケールします。幅 10 の行にある 7 の連続は、中央に 2×7 − 10 = 4 個のマスを強制します。習慣が身につけば、その数を明示的に計算する必要はめったにありません — 両方向にスライドさせるイメージが、目分量で同じ答えを与えてくれます。

行のヒントに複数の数字があっても、この方法は変わらず機能します — ただ行全体で共有される遊びを測るだけです。すべての連続に、それらの間に必要な一マスの隙間を加えて合計し、それを行の長さから引きます。その結果が「遊び」、つまり並び全体がどれだけずれられるかです。すると各々の連続は、それが正である限り（自身の長さ − 遊び）個のマスを強制します。

ヒント 4 3 の幅 10 の行を取りましょう。連続に一つの隙間を加えると 4 + 1 + 3 = 8 マス必要なので、遊びは 10 − 8 = 2 です。4 の連続は 4 − 2 = 2 マスを強制し、3 の連続は 3 − 2 = 1 マスを強制します。混んだ行でさえ、何一つ正確に置く前に三つの確実なマスを手渡してくれます。

連続がその行に比べて短い場合 — 小さな k、大きな n — 公式はゼロか負になり、そこでは重なりは何も強制しません。それはまったく普通のことで、行き止まりではありません。ただ、始点がその行にないというだけです。より制約の強い行や列を見つけ、そこで進めれば、塗ったマスがこの行の遊びを縮め、やがて重なりが効き始めます。重なりが解答のすべてであることはまれですが、ほとんど常に入り口になります。