겹침 기법

아무 단일 연속이나 골라, 그것을 자기 줄의 한쪽 끝으로 갈 수 있는 만큼 밀고, 그다음 반대쪽으로 갈 수 있는 만큼 민다고 상상해 보세요. 그것이 연속이 차지할 수 있는 두 극단의 위치입니다. 두 위치 모두에서 덮이는 칸은 반드시 채워져야 합니다 — 그 칸을 비워 두는 그 연속의 배치는 존재하지 않습니다. 두 극단 중 한쪽에서만 덮이는 칸은 당분간 미지로 남습니다.

그게 이 기법의 전부입니다. 연속이 실제로 어디로 가는지 알 필요는 없습니다. 그것이 피할 수 없는 칸만 있으면 됩니다.

n개 칸의 줄에 있는 길이 k의 단일 연속에서, 보장되는 칸의 수는 2k − n이며 줄의 가운데에 자리합니다 — 그 수가 양수일 때마다 그렇습니다. 폭 5의 줄에 있는 4의 연속은 2×4 − 5 = 3개의 강제 칸을 주고, 3의 연속은 겨우 2×3 − 5 = 1개를 줍니다. 연속의 길이가 줄 전체에 가까울수록 더 많이 고정합니다.

같은 발상은 확장됩니다. 폭 10의 줄에 있는 7의 연속은 가운데에 2×7 − 10 = 4개의 칸을 강제합니다. 습관이 붙으면 그 수를 명시적으로 계산할 일은 드뭅니다 — 양쪽으로 밀어보는 그림이 눈대중으로 같은 답을 줍니다.

줄의 힌트에 숫자가 여러 개여도 이 기법은 여전히 작동합니다 — 그저 줄 전체에서 공유되는 여유를 재면 됩니다. 모든 연속과 그 사이에 필요한 한 칸짜리 간격을 모두 더한 뒤, 그것을 줄 길이에서 빼세요. 그 결과가 「여유」, 즉 전체 배치가 얼마나 이동할 수 있는지입니다. 그러면 각 연속은 양수인 한 (자기 길이 − 여유)개의 칸을 강제합니다.

힌트 4 3의 폭 10 줄을 봅시다. 연속에 간격 하나를 더하면 4 + 1 + 3 = 8칸이 필요하므로 여유는 10 − 8 = 2입니다. 4의 연속은 4 − 2 = 2칸을 강제하고, 3의 연속은 3 − 2 = 1칸을 강제합니다. 붐비는 줄조차 무엇 하나 정확히 놓기 전에 확실한 칸 세 개를 건네줍니다.

연속이 자기 줄에 비해 짧으면 — 작은 k, 큰 n — 공식은 0이나 음수로 가고, 거기서 겹침은 아무것도 강제하지 않습니다. 그것은 완전히 정상이며 막다른 길이 아닙니다. 그저 시작점이 그 줄에 없다는 뜻입니다. 더 제약이 강한 행이나 열을 찾아 거기서 진전을 이루면, 채운 칸들이 이 줄의 여유를 줄여 마침내 겹침이 먹히기 시작합니다. 겹침이 해답 전체인 경우는 드물지만, 거의 언제나 들어가는 길입니다.