ओवरलैप विधि

कोई भी एकल रन लें और कल्पना करें कि आप उसे अपनी पंक्ति के एक छोर तक जितना दूर जा सके धकेलते हैं, फिर उतना ही दूर दूसरे छोर तक। ये वे दो चरम स्थितियाँ हैं जिन्हें रन घेर सकता है। जो भी खाना दोनों स्थितियों में ढका हो, वह अवश्य भरा होना चाहिए — उस रन की ऐसी कोई व्यवस्था नहीं है जो उसे खाली छोड़े। जो खाने दोनों चरमों में से केवल एक में ढके हों, वे अभी के लिए अज्ञात रहते हैं।

बस यही पूरी विधि है। आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं कि रन असल में कहाँ जाता है; आपको केवल वे खाने चाहिए जिन्हें वह टाल नहीं सकता।

n खानों की पंक्ति में लंबाई k के एकल रन के लिए, गारंटीशुदा खानों की संख्या 2k − n होती है, जो पंक्ति के बीच में बैठती है — जब भी वह संख्या धनात्मक हो। 5 चौड़ी पंक्ति में 4 का रन 2×4 − 5 = 3 बाध्य खाने देता है; 3 का रन केवल 2×3 − 5 = 1 देता है। रन की लंबाई पूरी पंक्ति के जितनी करीब होगी, उतना ही अधिक वह तय करता है।

यही विचार बड़े पैमाने पर भी लागू होता है। 10 चौड़ी पंक्ति में 7 का रन बीच में 2×7 − 10 = 4 खाने बाध्य करता है। आदत पड़ जाने पर, आपको शायद ही कभी संख्या को स्पष्ट रूप से गिनना पड़ता है — दोनों ओर खिसकाने का चित्र आपको वही उत्तर नज़र से दे देता है।

जब किसी पंक्ति के सुराग में कई संख्याएँ हों, तब भी विधि काम करती है — आप बस पूरी पंक्ति में साझा ढील मापते हैं। सभी रन जोड़ें, साथ ही उनके बीच आवश्यक एक-खाने के अंतराल; इसे पंक्ति की लंबाई से घटाएँ। परिणाम है „ढील” — पूरी व्यवस्था कितनी दूर खिसक सकती है। तब प्रत्येक अलग रन (अपनी लंबाई − ढील) खाने बाध्य करता है, जहाँ भी वह धनात्मक हो।

सुराग 4 3 के साथ 10 चौड़ी पंक्ति लें। रन साथ ही एक अंतराल को 4 + 1 + 3 = 8 खाने चाहिए, तो ढील 10 − 8 = 2 है। 4 का रन 4 − 2 = 2 खाने बाध्य करता है, और 3 का रन 3 − 2 = 1 खाना। यहाँ तक कि एक भरी-भरी पंक्ति भी कुछ भी ठीक-ठीक रखने से पहले आपको तीन निश्चित खाने दे देती है।

अगर कोई रन अपनी पंक्ति के मुकाबले छोटा हो — छोटा k, बड़ा n — तो सूत्र शून्य या ऋणात्मक हो जाता है, और ओवरलैप वहाँ कुछ बाध्य नहीं करता। यह बिल्कुल सामान्य है और कोई मृत अंत नहीं। इसका बस इतना अर्थ है कि शुरुआत उस पंक्ति में नहीं है; कोई अधिक बंधी हुई पंक्ति या स्तंभ खोजें, वहाँ प्रगति करें, और आप जो खाने भरेंगे वे इस पंक्ति की ढील को तब तक घटाएँगे जब तक ओवरलैप असर करने न लगे। ओवरलैप शायद ही कभी पूरा हल होता है, पर लगभग हमेशा भीतर घुसने का रास्ता होता है।